บทนำเรื่องพีชคณิตเชิงเส้น: การนิยามการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

ความเป็นเชิงเส้นคือโครงสร้างหลักของเวกเตอร์สเปซ หนึ่ง การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่แค่ฟังก์ชันเพียงอย่างเดียว แต่เป็นการจับคู่ $T$ ระหว่างเวกเตอร์สเปซที่เคารพการดำเนินการพื้นฐานของการบวกเวกเตอร์และการคูณด้วยสเกลาร์ ลองนึกภาพว่ามันเป็นแบบร่างโครงสร้าง — หากคุณทราบว่าการเปลี่ยนแปลงส่งผลต่อเวกเตอร์ชุดพื้นฐานอย่างไร คุณจะรู้ว่ามันส่งผลต่อโลกทั้งหมดของเวกเตอร์เหล่านั้นอย่างไร

สองเสาหลักของความเป็นเชิงเส้น

เพื่อให้การเปลี่ยนแปลง $T$ ถือว่าเป็นเชิงเส้นได้ ต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขทางพีชคณิตที่เข้มงวดสองข้อสำหรับเวกเตอร์ทุกตัว $v, w$ และสเกลาร์ทุกตัว $c$:

การบวก: $T(v + w) = T(v) + T(w)$ การเปลี่ยนแปลงของผลบวกคือผลบวกของการเปลี่ยนแปลง
ความสมมาตร: $T(cv) = cT(v)$ การขยายอินพุตจะขยายเอาต์พุตในอัตราเดียวกันทันที

หลักการซ้อนทับ

การรวมกฎเหล่านี้กัน จะให้เอกลักษณ์ที่ทรงพลังที่สุดในพีชคณิตเชิงเส้น:

$$T(c_1v_1 + \dots + c_nv_n) = c_1T(v_1) + \dots + c_nT(v_n)$$

หมายความว่า การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น $T$ จะกระทำต่อผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์โดยกระจายผ่านผลรวมและดึงสเกลาร์ออกมา

ข้อจำกัดของเวกเตอร์ศูนย์

การทดสอบที่สำคัญที่สุดสำหรับความเป็นเชิงเส้นคือ การทดสอบต้นกำเนิดหากการเปลี่ยนแปลงเป็นเชิงเส้น ต้องจับคู่เวกเตอร์ศูนย์ไปยังเวกเตอร์ศูนย์:

$T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$

หากการจับคู่เลื่อนจุดกำเนิด (เช่น $T(v) = v + b$) มันจะเป็น เอฟฟีน การเปลี่ยนแปลง ไม่ใช่การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น ในการเรขาคณิตของระนาบ การเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นจะคงจุดศูนย์กลางไว้เสมอ พวกเขาไม่เคย

การจำแนกความไม่เป็นเชิงเส้น

ความเป็นเชิงเส้นอ่อนไหวมาก หากกฎที่ควบคุม $T$ เกี่ยวข้องกับสิ่งใดต่อไปนี้ มันจะเป็น ไม่ใช่ เชิงเส้น:

กำลังสองหรือเลขชี้กำลังสูงกว่า (เช่น $v_1^2$)
ผลคูณขององค์ประกอบ (เช่น $v_1 v_2$)
ค่าสัมบูรณ์หรือขนาด (เช่น $||v||$)
ค่าคงที่ที่เบี่ยงเบน (เช่น $v_1 + 1$)

🎯 หลักการหลัก: ตัวอย่างเปรียบเทียบ

พิจารณาเวกเตอร์คงที่ $a = (1, 3, 4)$ การ ผลคูณจุด $T(v) = a \cdot v$ เป็นเชิงเส้นเพราะมันกระจายไปตามการบวก อย่างไรก็ตาม ขนาด $T(v) = ||v||$ ไม่เป็นเชิงเส้น เพราะละเมิดกฎของสามเหลี่ยม ($||v+w|| \leq ||v||+||w||$ ไม่เท่ากัน) และล้มเหลวเมื่อสเกลาร์เป็นลบ ($||-v|| = ||v|| \neq -||v||$)

คำถามที่ 1

การเปลี่ยนแปลงใดต่อไปนี้จาก $\mathbb{R}^2$ ไปยัง $\mathbb{R}$ ไม่ใช่เชิงเส้น?

$T(v) = (v_2, v_1)$

$T(v) = v_1 v_2$

$T(v) = v_1 - v_2$

$T(v) = (0, v_1)$

คำถามที่ 2

สมมุติว่า $T$ เป็นการสะท้อนผ่านแกน $x$ และ $S$ เป็นการสะท้อนผ่านแกน $y$ ในระนาบ $xy$ หาก $v = (x, y)$ ผลลัพธ์ของการเปลี่ยนแปลงเชิงผลคูณ $S(T(v))$ คืออะไร?

$(x, y)$ (เอกลักษณ์)

$(-x, y)$ (สะท้อนแกน $y$)

$(-x, -y)$ (สะท้อนผ่านจุดกำเนิด)

$(y, x)$ (สะท้อนผ่าน $y=x$)

คำถามที่ 3

หาก $u = [1, 0]^T$ และ $v = [0, 1]^T$ และเราทราบว่า $Au$ และ $Av$ เป็นคอลัมน์ของเมตริกซ์ $A$ สำหรับ $w = [5, 7]^T$ แล้ว $Aw$ เกี่ยวข้องกับคอลัมน์ของ $A$ อย่างไร?

$Aw = 5Au + 7Av$

$Aw = Au + Av$

$Aw = 7Au + 5Av$

$Aw = [5, 7]^T$

คำถามที่ 4

การเปลี่ยนแปลง $T(M) = AM$ โดยที่ $A$ เป็นเมตริกซ์ $2 \times 2$ คงที่ และ $M$ เป็นเมตริกซ์ $2 \times 2$ ใดๆ เป็นเชิงเส้น คุณสมบัติของเมตริกซ์ใดที่พิสูจน์สิ่งนี้?

กฎของดีเทอร์มิแนนต์ $|AM| = |A||M|$

คุณสมบัติการแจกแจง $A(B+C) = AB+AC$ และการจัดลำดับของสเกลาร์ $A(cM) = c(AM)$

คุณสมบัติการสลับที่ $AM = MA$

ข้อเท็จจริงที่ว่า $A$ เป็นเมตริกซ์ที่กลับได้

คำถามที่ 5

หากเวกเตอร์สเปซประกอบด้วยพหุนามดีกรี 3 หรือน้อยกว่า ทำไมเมตริกซ์ $B^2$ (แทนอนุพันธ์อันดับที่สี่) จึงเท่ากับเมตริกซ์ศูนย์?

เพราะอนุพันธ์ของศูนย์คือศูนย์

เพราะอนุพันธ์อันดับที่สี่ของพหุนามใด ๆ ที่มีดีกรี $\leq 3$ คือศูนย์

เพราะเวกเตอร์ฐานมีมุมฉากกัน

เพราะ $B$ เป็นเมตริกซ์เชิงพาณิชย์